11054: 가장 긴 바이토닉 부분 수열

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문제

수열 S가 어떤 수 S_k를 기준으로 S₁ < S₂ < ... S_k-1 < S_k > S_k+1 > ... S_N-1 > S_N을 만족한다면, 그 수열을 바이토닉 수열이라고 한다.

예를 들어, {10, 20, 30, 25, 20}과 {10, 20, 30, 40}, {50, 40, 25, 10}은 바이토닉 수열이지만, {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1}과 {10, 20, 30, 40, 20, 30}은 바이토닉 수열이 아니다.

수열 A가 주어졌을 때, 그 수열의 부분 수열 중 바이토닉 수열이면서 가장 긴 수열의 길이를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N이 주어지고, 둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 A_i가 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000, 1 ≤ A_i ≤ 1,000)

 

출력

첫째 줄에 수열 A의 부분 수열 중에서 가장 긴 바이토닉 수열의 길이를 출력한다.

 

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풀이

가장 긴 부분수열을 찾는 문제의 응용이다.

 

i번째 항목이 있을 때 그 항목까지의 가장 긴 부분 수열을 찾으면 i+1번째 항목까지의 가장 긴 부분 수열은 앞선 i개의 항목이 가진 가장 긴 부분 수열을 참조해 구할 수 있다. 이를 이용한 가장 긴 증가하는 부분 수열을 찾는 점화식은 다음과 같다.

for i in range(N):
    for j in range(i):
        if A[i] > A[j]:
            dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i])

 

이렇게 가장 긴 증가하는 부분 수열을 순방향과 역방향으로 구한다. dp_increase, dp_decrease라고 이름 붙인 두 리스트의 i번째 항목을 더하면 A[i]를 최대값으로 하는 바이토닉 수열의 길이를 구할 수 있다.

 

정답 코드

N = int(input())
A = list(map(int, input().split()))
dp_increase = [0 for i in range(N)]
dp_decrease = [0 for i in range(N)]

for i in range(1, N):
    for j in range(i):
        if A[i] > A[j]:
            dp_increase[i] = max(dp_increase[i], dp_increase[j] + 1)
        if A[N - i - 1] > A[N - j - 1]:
            dp_decrease[N - i - 1] = max(dp_decrease[N - i - 1], dp_decrease[N - j - 1] + 1)

result = 0

for i in range(N):
    result = max(dp_increase[i] + dp_decrease[i], result)

print(result + 1)